Modelo de câmera

As câmeras são ferramentas que armazenam a informação visual de uma cena em uma matriz de pixels. Para que isso seja possível, a luz refletida pelo mundo deve alcançar uma matriz de sensores sensíveis à luz (CCD) no interior da câmera. O modelo de câmera mais utilizado para se entender o processo é o modelo pinhole. Nesse modelo a luz deve passar através de um furo bem pequeno, formando uma imagem focada no fundo de uma câmara escura.

Fig 1. Modelo de câmera pinhole

O modelo de câmera pinhole é utilizado para representar esse processo matematicamente. Nessa representação, a cena é armazenada na forma de uma projeção do mundo em um plano chamado plano da imagem. As Figuras 2 mostram o processo de tal representação, onde o centro óptico de projeção da câmera O_C é a origem do eixo de coordenadas da câmera. O plano da imagem é paralelo ao plano formado pelos eixos X e Y e perpendicular ao eixo Z. Além disso, ele está a uma distância focal f do centro óptico. O ponto onde o eixo Z intercepta o plano da imagem é chamado de ponto principal da câmera c_O = (u_O, v_O), sendo esse, comumente, o ponto central da imagem.

Fig 2a. Sistema de coordenadas da câmera

Fig 2b. Outra representação do sistema de coordenadas

Fig 2c. Projeção do ponto tridi-mensional X (vista do plano YZ)

Dessa forma, é possível calcular o pixel u = (u, v)^T no qual o ponto X = (x, y, z)^T é projetado. Primeiramente, encontra-se seu ponto em coordenadas métricas Xp = (x_p, y_p, z_p)^T obtido na projeção de X no plano da imagem, para depois relacionar o resultado para valores em pixels u. Considerando que a distância focal é dada na unidade métrica, tem-se que

e z_p assumindo valor igual à distância focal f para qualquer ponto projetado no plano da imagem.

Mesmo que tenha sido calculado o valor de z_p, representa-se um pixel como um ponto pertencente a uma matriz bidimensional. Desta forma, desconsidera-se o valor de z_p e encontra-se a quantia de x_p e y_p equivalente em pixels. Assim, a transformação que relaciona (x_p, y_p) na unidade métrica a seu valor (u_p, v_p) em pixels é dada por

onde os parâmetros s_u e s_v dependem das dimensões dos sensores do CCD (em unidade métrica) ao longo dos eixos X e Y , respectivamente, e representam o número de pixels por unidade de comprimento do sensor. Quando s_u = s_v os pixels são quadrados. Caso contrário, os pixels são retangulares. Para simplificar a escrita, s_uf e s_vf serão representados, respectivamente, por f_u e f_v.

Ainda assim, u_p = (u_p, v_p)^T está dado num sistema centrado no ponto principal da câmera. Para que a referência seja tomada como o canto superior esquerdo da imagem, como normalmente se considera em uma matriz numérica, as coordenadas de u_p devem ser transladadas, como apresentado na Figura 3.

Matematicamente, tem-se que

onde u_p = f_u.x/z e v_p = f_v.y/z.

Fig 3. Translação do sistema centrado em C_O para o canto superior da imagem

Ou seja,

Se essas equações forem organizadas matricialmente de forma a evidenciar os pontos u e X, chega-se a

Percebe-se que todos os elementos do ponto X estão divididos por z, de forma que para explicitar de fato o ponto X, evidencia-se z como um fator de escala. Usualmente, se representa o pixel u em sua forma de coordenadas homogêneas u̇ = (u, v, 1)^T, assim, a equação anterior se torna

Nessa equação, a profundidade z já foi expressada como um fator de escala. Ele pode ser retirado ao se dividir o vetor resultante da projeção pelo seu terceiro elemento, visto que este é o próprio z. De forma compacta, a expressão pode ser representada por

onde

Essa matriz é conhecida como matriz de parâmetros intrínsecos da câmera, visto que esses parâmetros dependem de fatores construtivos de cada dispositivo. Nessa representação, os pontos da cena já estão no sistema de coordenadas da câmera, não são considerados a distorção radial e o fator de cisalhamento entre os dois eixos do plano da imagem. O cisalhamento é normalmente considerado zero e a distorção radial pode ser tratada separadamente do modelo de projeção.

Todos esses parâmetros intrínsecos, incluindo o cisalhamento e a distorção radial, podem ser obtidos por meio de um algoritmo de calibração da câmera.

Parâmetros extrínsecos

Além de se considerar as características intrínsecas da câmera, é comum em aplicações de reconstrução 3D e robótica se considerar um sistema de coordenadas global onde o robô, o objeto ou a câmera estão inseridos. Dessa forma, precisa-se encontrar uma transformação que associe esse referencial global (e.g. referencial do mundo) com os demais referenciais locais (e.g. referencial da câmera, do robô e do objeto).

As transformações de rotação R_WC e translação t_WC que levam um ponto no sistema de coordenadas da câmera S_C para o sistema de coordenadas global S_W (Figura 4) recebem o nome de parâmetros extrínsecos, por dependerem de dados externos, e não internos à câmera.

Fig 4. Transformação (R_WC, t_WC) do sistema de coordenadas da câmera S_C para o global S_W

Dessa forma, a transformação de um ponto no referencial 1 para o referencial 2 pode ser escrita como

A transformação (R₂₁, t₂₁) muitas vezes é representada pela matriz

que considera X₁ e X₂ em coordenadas homogêneas Ẋ₁ = (x₁, y₁, z₁, 1)^T e Ẋ₂ =(x₂, y₂, z₂, 1)^T, respectivamente. Assim, a equação anterior passa a ser representada como

Os parâmetros extrínsecos, também podem ser obtidos por meio de um algoritmo de calibração da câmera.

Referência: Capítulo 2 da dissertação de mestrado de Leonardo de Assis Silva.

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